Los Números de Fibonacci en la naturaleza
T.A. Davis Traducido al español por: José Grassia
Introducción:
Los grandes y compactos conos o los órganos reproductores de muchas especies de Cycas son materiales ideales para observar arcos y modelos de espirales en ellos.
Estos modelos están formados por la ubicación de las bracteas individuales (esporophyllas u hojas carpelares). En algunos conos delgados, se puede notar 3 espirales que viran a la izquierda y 5 espirales en sentido contrario, o viceversa. En conos grandes, pueden notarse 5 y 8 espirales, y en algunos aun mayores son visibles 8 y 13 espirales; cada uno moviéndose en oposición al otro. Los conos gigantes pueden llegar a tener 13 y 21 espirales como el que se aprecia en la Fig. 1.
Estos números (3, 5, 8, 13 & 21) forman parte de una sucesión numérica conocida como los Números de Fibonacci que fueron conocidos a través del trabajo de Leonardo da Pisa, matemático italiano del siglo 13. La sucesión comienza en estos términos: 1,1,2,3,5,8,13,21,34, y así sucesivamente. Excepto el primero, cualquier término en la sucesión se obtiene sumando los dos números precedentes. La sucesión es interminable y tiende al infinito.
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 Fig.1. compacto cono de polen de Cycas circinalis. El espiral Nro.8 (en primer lugar), 13 y 21 son indicados en el cono. |
Los Números Fibonacci:
Leonardo da Pisa (1175-1250) escribió el libro LiberAbaci en 1202 el cual permaneció olvidado durante siglos.
En el siglo19, el gran teórico de los números, francés, Edourd Lucas (1842-1891) fue quién lo descubrió, y quedo fascinado por un problema descrito en el primer capítulo del libro, conocido como “el famoso problema de la reproducción de los conejos”.
Cuando una pareja de conejos adultos se encierran para procrear, y si se asume que los conejos producen una cría macho y otra hembra todos los meses, y también es supuesto que los jóvenes empiezan reproduciéndose a la misma frecuencia al fin del segundo mes de su nacimiento, el número de pares de conejos aumentará de la manera siguiente: 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, alcanzando 233 pares al final de un año. Cualquier término en la sucesión (con excepción del primero) es la suma de los dos términos precedentes.
Lucas quedo impactado por el problema de la reproducción de los conejos y pronto pudo visualizar algunas de sus propiedades.
Él nombró la sucesión como Números Fibonacci, o los Números del hijo de Bonaccio (Fi=filio y Bonaccio= el padre de Leonardo). Semejante apodo fue escogido para los números de Leonardo, porque Lucas sentía que no era digno de mencionar el nombre real de tan gran matemático que ha dado esta joya de los números.
A partir de mediados del siglo 20, el concepto de Fibonacci ha tomado gran actualidad y auge gracias a los esfuerzos de dos grandes matemáticos californianos, el sacerdote Alfred Brousseau y el Prof. Verter E. Hoggatt. En 1962, se fundo la sociedad The Fibonacci Association, la cual comenzó a publicar un periódico,"The Fibonacci Quarterly", al año siguiente.
Algunas Propiedades de los Números de Fibonacci
La sucesión numérica Números de Fibonacci parece elemental, pero tiene propiedades matemáticas profundas, como lo evidencia los innumerables artículos que aparecen en The Fibonacci Quarterly, aportados por los más de 2000 miembros de la Asociación de Fibonacci.
Ahora bien, mi interés radica en las aplicaciones de algunas de las propiedades de Fibonacci a las plantas y animales.
Por ejemplo, el número de espirales foliares de cualquiera de las 2.700 especies de palmas incluidas en la familia Arecaceae , siempre es un número de Fibonacci.
Areca catechu tiene una sola espiral, Arenga pinnata despliega dos espirales, Borassus flabellifer presenta en el tallo tres espirales claras, Cocos nucifera tiene cinco espirales distintas, y la base de las hojas de Elaeis guineensis están colocadas en ocho espirales. Los gigantes troncos de Phoenix canariensis tienen numerosas y prominentes cicatrices foliares que se desarrollan en trece espirales.
También es sorprendente que no haya ninguna palma que muestre 4, 6, 7, 9, 10, 11 o 12 espirales en su corona o tallo.
La cabeza de las flores de margarita, pensamiento, crisantemo, dalias y girasol, todas pertenecientes a la familia Compositae, muestran espirales o arcos en el ordenamiento de sus flores. Sus números siempre coinciden con los Números de Fibonacci. Así también los pedúnculos de la mayoría de las especies de anthurium, ananás, conos de pinos y conos de Cycas despliegan espirales que coinciden con los Números de Fibonacci.
La razón de semejante coincidencia es debido a una relación entre los Números Fibonacci y la Proporción Dorada (o Proporción Divina). La propiedad más notable de la serie de Fibonacci es que la proporción entre dos números consecutivos es alternadamente mayor o menor que la Proporción Dorada (0.618). Cuando la serie continúa, las diferencias se tornan cada vez menores y se acerca a la Proporción Dorada de 0,6180339... (o su recíproco 1,6180339... qué es un número irracional).
Así, cuando calculamos, la proporción entre F números consecutivos, los valores se reducen y finalmente alcanzan el valor 0,618 como vemos en el cuadro siguiente.
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1/1 |
= |
1.000 |
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13/21 |
= |
0.619 |
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1/2 |
= |
0.500 |
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21/34 |
= |
0.618 |
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2/3 |
= |
0.667 |
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34/55 |
= |
0.618 |
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3/5 |
= |
0.600 |
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55/89 |
= |
0.618 |
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5/8 |
= |
0.625 |
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89/144 |
= |
0.618 |
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8/13 |
= |
0.615 |
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De aquí en adelante, el valor continuará acercándose más aun a la Proporción Dorada.
Asi, la Proporción Dorada es el valor de Phi, cuya expresión es (_/5-1)/2 = 0.6180339
... Semejante Proporción Dorada también aparece cuando nosotros consideramos la forma de varias flores, por ejemplo el girasol, o el ananás o en la disposición de las bracteas en los conos de cycas.
Si se consideran los puntos de origen de cualquiera de dos flores consecutivas, los ángulos complementarios entre ambas flores, o bracteas, será aproximadamente de 137.5° y el ángulo suplementario (para completar una revolución) será 222.5°. La proporción entre 137.5 y 222.5 es la familiar Proporción Dorada de 0.618.
Ésa es la razón por la cual los conos de las cycas muestran modelos en espirales, y el número de espirales coincide con un número F.
El cono de las cycas y el ananás
En la Fig.1 se observa un cono de polen de una C. circinalis recolectado en Waltair, India. Se pueden observar modelos de espirales en las compactas bracteas. Uno de ellos es un espiral de 8 que tiene sentido antihorario. Es decir, siguiendo esto y adicionando 7 otras espirales, la superficie entera del cono puede cubrirse. Similarmente, la 13ra. espiral, que se mueve en sentido contrario a la 8va. y en un ángulo pronunciado, cubrirá la superficie entera del cono moviéndose en el sentido de las agujas del reloj. De nuevo, la espiral Nro. 21 se mueve muy empinadamente, y gira en dirección opuesta a la 13ra.
Así, el ritmo del cambio de dirección de las espirales alternadas que giran a la izquierda y a la derecha, seguidas nuevamente a la izquierda y derecha etc. etc., hace pensar en una de las propiedades de los Números de Fibonacci. Es decir, el cambio de la Proporción Dorada entre F. números consecutivos esta en mas o en menos de 0,618 (o 1,618).
 Fig. 2. Domo de la piña gigante construido por Sunshine Plantation en Nambour, Queensland, Australia.
 Fig. 3. Un niño de Manaos, Indonesia,
sostiene una piña grande donde están marcados los espirales que giran en
sentido horario y antihorario |
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También en los ananás se pueden encontrar 3, 5, 8, 13 o incluso 21 espirales según su tamaño. Juegos consecutivos de espirales se desarrollan en sentidos opuestos. También es verdad que cuanto mayor es el número del espiral, mas empinado es el ángulo. Esto implica que dos espirales con movimientos contrarios nunca tendrán la misma pendiente
Pero mirando el domo de la Fig.2, se observa que las espirales marcadas se mueven hacia arriba con la misma pendiente, lo cual es poco realista.
Cuando yo señalé las diferencias entre el modelo inexacto del domo gigante y la verdadera piña (Fig. 3) a algunos obreros en Sunshine Plantation, ellos me indicaron que le escribiera al gerente Sr. Tony Jakeman que se encontraba ausente ese día.
Cuando yo escribí a Jakeman para ofrecerle mi ayuda en el diseño de un domo realista y científicamente exacto, me respondió de la siguiente forma el día 11 de febrero de 1987, diciendo:
"El artículo sobre los ananás en “The Fibonacci Quarterly” fue fascinante, y mucho aprecio su ofrecimiento de ayuda en el diseño de uno nuevo. Lamentablemente el contrato para la construcción de la nueva cubierta para nuestra "Gran Piña” fue aceptado el pasado noviembre y los costos involucrados para cambiar el plan en estos momentos serían prohibitivos. Sin embargo, cuando nosotros en el futuro tengamos que diseñar otra Piña yo le avisaría para discutir el proyecto".
PALMS & CYCADS No 23. Oct-Dec 1989).
Contribucion de: T.A. Davis, JBS Haldane Research Centre, Nagercoil, Tamilnadu, India
